69.605%
だいたい、3回に2回以上、畳返しが引ける。

まずは確率の基本。
初期手札に特定のカードが入っている確率 + 初期手札に特定のカードが入っていない確率 = 1
ですので、
初期手札に特定のカードが入っている確率 = 1 - 初期手札に特定のカードが入っていない確率
となります。
ただ、初期手札に特定のカードが入っている確率を求めるより、初期手札に特定のカードが入ってない確率を求めたほうが簡単ですので、そちらをまずは計算します。

初期手札に特定のカードが入っていない確率は、1枚ずつカードを引いていった状況を考えてみるとわかりやすいです。
１）初期手札の1枚目を引いた時点
20枚の中から、畳返しを除く18枚のいずれかを引く確率
= 18 / 20 = 0.9
２）同じく2枚目を引いた時点
20枚から畳返しでないカードを1枚引いた19枚のうち、畳返しを除く17枚のいずれかを引く確率
= 17 / 19 = 0.89474
　・
　・
という計算を4枚目まで行うことでそれぞれの確率を計算できます。
そして、
1枚目が畳返しでない　かつ　2枚目が畳返しでない　かつ　・・・　4枚目が畳返しでない
ということになるので、AかつBかつ・・・の確率は、それぞれの確率の積（掛け算）で求めることができます。

マリガンを行って手札を全交換するということは、畳返し以外のカード4枚を除いたデッキを16枚に戻して再度引き直すということですので、マリガンで全交換後に畳返しが引けない確率は、16枚の中から畳返しを除く14枚のいずれかを引く　かつ　15枚の中から以下略　となります。
ただし、後攻１ターン目の開始時にカードが１枚引けるため、5枚目までカードをめくれるのを忘れないように勘定しておきましょう。5枚目のカードは、マリガンで戻したカードも含まれているため母数が変わることに気をつけます。

最後に、マリガンで全交換しても畳返しが引けないということは、
初期手札で畳返しが引けない　かつ　マリガンで全交換後も畳返しが引けない
なので、それぞれの確率の積となります。

1 - (18/20 * 17/19 * 16/18 * 15/17)
= 1 - 0.631579 ≒ 36.842%

だいたい、3回に1回は引ける

1 - (0.631579 * (14/16 * 13/15 * 12/14 * 11/13 * 14/16))
= 1 - 0.631579 * 0.48125 ≒ 69.605%

34.383%
3回に1回は1ターン目に豚サクヤが完成する。

基本は1-1.と同じですが、1-1.では特定のカードが2枚だったものが、特定のカードが4枚という前提で計算していきます。
特定のカードが2枚以上引ける確率は
1 - 1枚も引けない確率 - 1枚しか引けない確率 - 2枚引いたけどダブった（豚＋豚またはサクヤ＋サクヤ）確率
となります。

1枚しか引けない確率は、
1枚目で特定のカードを引く確率 + 2枚目で特定のカードを引く確率 + ・・・
で計算が可能です。2枚引く場合も同様の計算となります。

先攻なので4枚＋4枚
(16/20 * 15/19 * 14/18 * 13/17) * (12/16 * 11/15 * 10/14 * 9/13)
≒ 10.217%

だいたい10回に1回は1枚も引けない。

初期手札で引く場合（マリガンで1枚残して残りを交換し、1枚も引けない）
(4/20 * 16/19 * 15/18 * 14/17) * (13/16 * 12/15 * 11/14 * 10/13)
= 0.04540764 ≒ 4.541%
この確率は最初の1枚で引くパターンなので、1〜4枚目のいずれかで引くパターンを考える必要がある。
1枚目〜4枚目の4パターンあるので、確率は4倍となる
4.541% * 4 ≒ 18.164%

マリガンした後に引く場合（初期手札で全く引けず、マリガンで全交換した後に1枚引く）
(16/20 * 15/19 * 14/18 * 13/17) * (4/16 * 12/15 * 11/14 * 10/13)
= 0.04540764 ≒ 4.541%
マリガン後の1枚目〜4枚目の確率なので、こちらも確率は4倍となる
4.541% * 4 ≒ 18.164%

どちらか1枚だけ引く確率は
マリガン前に1枚引く確率　または　マリガン後に1枚引く確率
なので、
18.164% + 18.164% = 36.328%

○初期手札で引く場合（マリガンで2枚残して残りを交換し、1枚も引けない）
(4/20 * 3/19 * 16/18 * 15/17) * (14/16 * 13/15 * 12/14 * 11/13)
= 0.014731176 ≒ 1.473%
組み合わせは6パターン（1+2,1+3,1+4,2+3,2+4,3+4 = 4C2）あるので
0.01362229 * 6 = 0.08173375
ただし、引いたカードがダブるパターンは4パターン中2パターン（豚＋豚、豚＋サクヤ、サクヤ＋豚、サクヤ＋サクヤ）なので、豚＋豚、サクヤ＋サクヤの2パターンのみ抽出するので
0.08173375 / 2 ≒ 4.087%・・・（A）

○マリガン前と後とで1枚ずつ引く場合
マリガン前に1枚引くパターン＋マリガン後に1枚引くパターンで、それぞれで計算する必要がある
まずはマリガン前
(4/20 * 16/19 * 15/18 * 14/17)
= 0.115583075 ≒ 11.558%
4パターンあるので
0.115583075 * 4 = 46.233%
続いてマリガン後。
(3/16 * 13/15 * 12/14 * 11/13)
= 0.11785714 ≒ 11.786%
4パターンあるので
11.786% * 4 = 47.144%
マリガン前に引く　かつ　マリガン後に引く　なので積を取って、
46.233% * 47.144% ≒ 21.796%
これもやはり4パターンのうち豚＋豚・サクヤ＋サクヤの2パターンのみを抽出なので、
21.796% / 2 ≒ 10.898%・・・（B）

○マリガン後に2枚引く場合
(16/20 * 15/19 * 14/18 * 13/17) * (4/16 * 3/15 * 12/14 * 11/13)
= 0.01362229 ≒ 1.362%
6パターンあるので
0.01362229 * 6 ≒ 8.173%
組み合わせのうち豚＋豚、サクヤ＋サクヤの2パターンのみを抽出なので、
0.01362229 / 2 ≒ 4.087%・・・（C）

○豚豚かサクヤサクヤを引く確率
A + B + C = 4.087% + 10.898% + 4.087% = 19.072%

1 - 豚サクヤ0枚 - 豚サクヤ1枚 - 豚豚orサクヤサクヤ
1 - 10.217% - 36.328% - 19.072% = 34.383%